佛山大学 2025 年硕士研究生招生考试大纲

科目名称：高等代数

一、考查目标

高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，它的主要内容包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间。要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。

二、考试形式与试卷结构

考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟，其中简答题（30 分），计算与解答题 （70 分），证明题（50 分）。 三、考查范围

（一）多项式

1．多项式的带余除法及整除性、最大公因式、互素多项式；

2．不可约多项式、因式分解唯一性定理、重因式、复系数与实系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定；

3．多项式函数与多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数的关系，整系数多项式在有理数域上的不可约性判别。

（二）行列式

1．行列式的定义及性质，行列式的子式、余子式及代数余子式；

2．行列式按一行、列的展开定理、Cramer 法则、Laplace 定理和行列式乘法定理、Vandermonde 行列式；

3．运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。

（三）矩阵

1．矩阵的基本运算、矩阵的分块及常用分块方法；

2．矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的等价、矩阵的迹、方阵的多项式；

3．逆矩阵、矩阵可逆的条件及与矩阵的秩和初等矩阵之间的关系，伴随矩阵及其性质；

4．运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。

（四）线性方程组求解

1．Gauss 消元法与初等变换；

2．向量组的线性相关性、向量组的秩与极大线性无关组、矩阵的秩；

3．线性方程组有解的判别定理与解的结构。

（五）线性空间和线性变换

1．线性空间、子空间的定义与性质，向量组的线性相关性，线性（子）空间的基、维数、向量关于基的坐标，基变换与坐标变换，线性空间的同构；

2．子空间的基扩张定理，生成子空间，子空间的交、和与直和、维数公式；

3．一些常见的子空间，如线性方程组的解空间、矩阵空间、多项式空间；

4．线性变换的定义、性质与运算，线性变换的矩阵表示，矩阵的相似、同一个线性变换关于不同基的矩阵之间的关系；

5．矩阵的特征多项式与最小多项式及其性质、线性变换及其矩阵的特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；

6．线性变换的不变子空间、核、值域的概念、关系及计算；

7．Hamilton-Caylay 定理、矩阵可相似对角化的条件与方法、线性变换矩阵的化简。

（六）内积空间

1．内积与欧氏空间的定义及性质，向量的长度、夹角、距离，正交矩阵，欧氏空间的同构，正交子空间与正交补；

2．欧氏空间的度量矩阵、标准正交基、线性无关向量组的 Schmidt 正交化方法；

3．正交变换与正交矩阵的等价条件，对称变换的概念与性质；

4．实对称矩阵的正交相似对角化的求法；初等旋转和镜像变换。

（七）二次型和对称矩阵

1．二次型及其矩阵表示、矩阵合同、二次型的标准形与规范形、惯性定理；

2．实二次型在合同变换下的规范形以及在正交变换下的标准型求法；

3．实二次型或实对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定的定义、判别法及其应用。

四、掌握重点

（一）带余除法及其应用

（二）行列式乘积定理及其应用

（三）初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵

（四）线性方程组有解的判别定理与解的结构

（五）线性空间的概念及性质

（六）子空间的和与直和、维数公式

（七）线性变换线性变换的核、值域的概念、关系及计算

（七）实二次型在正交变换下的标准型求法

（八）实对称矩阵及其性质

参考书目：

[1] 北京大学数学系前代数小组，王萼芳，石生明编,《高等代数》(第五版)，高等教育出版社.